Física I

 

Vectores y Escalares

Una magnitud física es todo aquello que se puede medir, consecuentemente, requerimos de instrumentos apropiados para tales mediciones; tales como por ejemplo un termómetro, cronómetro, balanza, etc. A dicha magnitud acompaña una unidad de medida, es decir, para la temperatura es el grado Celcius, para el cronómetro el segundo, para la balanza el kilogramo y asi sucesivamente. A dichas magnitudes físicas se las denomina magnitudes escalares, es decir, para expresar tales magnitudes, se requiere de un número real y la unidad de medida correspondiente, por ejemplo si se trata de la masa de un cuerpo, la expresaremos como 50[kg] o si se trata de la temperatura corporal, esta debe ser de 36^{o}C.
A diferencia de las magnitudes escalares, existe otra magnitud física denominada magnitud vectorial, se distingue de la de escalar por ser más minuciosa en su expresión matemática  -\infty+\infty, en principio se requiere de una mayor información que la escalar, es decir, aparte de un número real (o magnitud) se necesita de una dirección, sentido y origen donde se genera la información. En ese sentido, debemos introducir un sistema de ejes cartesianos o sistema de referencia para especificar la ubicación de un cuerpo u objeto a estudiar.

Sistemas de referencia

Utilizado para describir el movimiento relativo de los cuerpos en un determinado entorno espacial.

Sistema cartesiano

O plano cartesiano se caracteriza por utilizar más de un eje coordenado, al cual se le asigna nombres tales como eje de abcisas (X), eje de ordenadas (Y) y eje de cotas (Z), dependiendo del tipo de estudio a realizarse, recibe las siguientes denominaciones; unidimensional, bidimensional y tridimensional. Dichos ejes son perpendiculares entre sí u ortogonales, el punto donde se intersectan ellas se denomina origen de coordenadas (0). Los rangos de variación de las coordenadas cartesinas van de  -\infty< X <+\infty,  -\infty<Y<+\infty,  -\infty<Z<+\infty. En tal sentido, un cuerpo referido a tal sistema de referencia, estará contenido en uno de los planos de tal sistema, sea este de una, dos o tres dimensiones. La Figura a continuación ilustra lo antecedido

Sistema de coordenadas esférico

En tal sistema, la posición de un cuerpo está definida por tres coordenadas esféricas, es decir la radial, polar y el azimutal, en otras palabras, por,  \theta y  \phi. El rango de variación de cada una de ellas va de: 0 \leq r<+\infty, 0\leq \theta<\pi y  0\leq \phi<2\pi. La Figura inmediata nos muestra tales coordenadas.

Sistema de coordenadas cilíndrico

Dicho sistema está compuesto de tres coordenadas cilíndricas, es decir  \rho, z y  \phi. Los rangos de variación de dicho sistema es de  0\leq \rho<\infty, 0\leq \phi< 2\pi, +\infty<Z<+\infty. La figura a continuación nos muestra tal situación.

Sistema de coordenadas polares

En tal sistema, la ubicación de un cuerpo queda determinado por dos planos denominados polares, es decir r y  \theta, ver figura a continuación, los rangos de variación de tales coordenadas son de 0  \leq r<\infty 0\leq \theta<2\pi.

Nexos entre los sistemas cartesianos

La relación estrecha entre las coordenadas anteriormente descritas, pueden establecerse en ecuaciones de la forma:

Cartesiano-esferico

     \begin{eqnarray*} x & = & r\cdot\sin\theta\cdot\cos\phi\\ y & = & r\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi\\ z & = & r\cdot\cos\theta \end{eqnarray*}

Cartesiano-cilíndrico

     \begin{eqnarray*} x & = & \rho\cdot\cos\phi\\ y & = & \rho\cdot \sin\phi\\ z & = & z \end{eqnarray*}

Cartesiano-polar

     \begin{eqnarray*} x & = &r\cdot\cos\theta\\ y &= & r\cdot\sin\theta \end{eqnarray*}

Movimiento en el espacio

Resulta interesante tener encuenta las siguientes definiciones con respecto al concepto de movimiento o desplazamiento de los cuerpos.
Definición 1.0: Se dice que un cuerpo se mueve respecto a un sistema de referencia, si sus coordenadas varían con el tiempo.

Definición 1.1: Un desplazamiento se define como cualquier cambio de posición de un cuerpo en el espacio.

De acuerdo a las definiciones dadas anteriormente, si un cuerpo pasa de la posición A a otra posición B, se dice que tal cuerpo se ha desplazado o movido de A a B. Esto quiere decir que se requiere de tres características para definir el desplazamiento, o sea:

Su magnitud, definida como la distancia entre los puntos inicial y final.
Su dirección, la que corresponde a la dirección de la línea recta AB.
Su sentido, el que va de A hacia B o de B hacia A.

Asimismo, cuando se tienen varios desplazamientos, estos se combinan o se suman de acuerdo con la regla del tríangulo, es decir, el primer desplazamiento de A \longrightarrow B, seguido de otro desplazamiento B \longrightarrow C es igual a un desplazamiento A  \longrightarrow C. La siguiente Figura muestra tal comportamiento

Cinemática Unidimensional

Introducción

Describir el movimiento de los cuerpos, data desde los albores de la humanidad, observar los fenómenos a nuestro alrededor, presenta una inquietud y poder describirlos resulta un gran desafio. En ese entendido, se presenta uno de los movimientos más simples de la naturaleza, el movimiento rectilíneo o unidimensional. Pero, ¿qué es el movimiento?, ¿como lo describimos?, ¿qué se requiere para ello?

Movimiento

Cuando observamos objetos tanto animados como inanimados, queremos describirlos en un lugar determinado y en instante dado, en lenguaje matemático quiere decir que requerimos de un sistema cartesiano o coordenadas cartesianas que son funciones del tiempo. El sentido común nos dice, si el objeto se encuentra en reposo, entonces las coordenadas posén el mismo atributo, pero, si el objeto se encuentra en movimiento, queda dos opciones para las coordenas, o están en reposo o se estan en movimiento. Tomaremos la primera opción, aun si el objeto este moviendo, las coordenadas permanecerán en reposo. Consecuentemente, para describir el movimiento de los cuerpos, se requiere de un sistema de referencia, caso contrario se imposibilita su estudio y peor aún su descripción.

Concepto de tiempo

Resulta interesante leer en los anales de la historia de la ciencia, que Galileo Galilei fue el primero en formular el concepto absoluto del tiempo, para él, todos los observadadores independiente de su movimiento, el tiempo transcurre por igual para los observadores. Un ejemplo claro es la simultaneidad de dos eventos físicos (no necesariamente), si los sucesos ocurren simultaneamente para un observador, entonces estos se dan por igual para los otros observadores. Siglos después, Einstein se encargará de desmontar tal simultaneidad.

Movimiento Unidimensional

Cuando un objeto o móvil se mueve a lo largo de una línea recta, la posición de este queda perfectamente definido por una sola coordenada cartesiana, por ejemplo el eje de abcisas, matemáticamente se dice que el móvil cambia de posición en función del tiempo, es decir  {x}={x(t)} donde la posición del móvil esta dada por  {x}, obviamente si este se mueve, entonces será función del tiempo, o sea,  x{t}

Desplazamiento

Cuando el móvil se mueve de una posición  x_{1}{t} a una  x_{2}{t} en los instantes  t_{1} y  t_{2}, su diferencia queda determinada por una nueva coordenada, es decir  \Delta x=x_{2}{t}-x_{1}t. La definición dada es bastante fría, nada nos dice que le ocurrio al móvil entre los instantes  t_{1} y  t_{2} y menos en la distancia que separa  x_{1} y  x_{2}.

Espacio recorrido

La magnitud del desplazamiento que lleva el móvil si acaso este no cambiase del sentido de movimiento, lo denominaremos el espacio recorrido. Si existiese cambios en el sentido del movimiento, entonces el espacio recorrido será la suma de las magnitudes de los desplazamientos. Si por ejemplo, lanzamos una canica de goma hacia la pared que esta a una distancia  L_{1} de nosotros, esta se devuelve recorriendo la misma distancia, de manera que el espacio recorrido será  2L_{1}.

Rapidez media

Se define la rapidez media como la razón de cambio del desplazamiento del móvil  \delta x en el intervalo de tiempo  \Delta t=t_{2}-t_{1}, mediante

     \[ v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \]

En tal sentido, la rapidez media es una magnitud en movimiento.
Rapidez instantanea
Si el instante  t_{2} se aproxima lo suficiente a  t_{1}, entonces se define como el límite de la rapidez instantanea cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, o sea

     \[ v(t)=\displaystyle\lim_{t_2 \to t_1}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_{2}-t_{1}} \]

existen otras notaciones tales como

     \[ v(t)=\frac{dx}{dt}=\dot{x}(t)=x^{\prime}(t) \]

Aceleración media
Cuando el móvil cambia la magnitud de su movimiento a cada instante, es decir, en el intervalo de tiempo de  t_{1} a  t_{2}, entonces definimos la aceleración media del móvil como la razón de cambio del intervalo de \Delta v(t)=v(t_{2})-v(t_{1}) entre el intervalo de  \Delta t=t_{2}-t_{1}, o sea

     \[ a_{m}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}, \]

o bien

     \[ a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t} \]

.
Aceleración instantánea
Cuando el intervalo de tiempo de \Delta t=t_{2}-t_{1} tiende a cero, es decir  t_{2} \to t_{1}, la aceleración media se convierte en aceleración instantánea, es decir
 a(t)=\displaystyle\lim_{t_{2} \to t_{1}} \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_{2}-t_{1}}=\frac{dv(t)}{dt}, ecuación que puede ser descrita en función de la posición del móvil, es decir

     \[ a(t)&=&\frac{dv(t)}{dt}\\ a(t)&=&\frac{dx^2}{dt^2} \]

Movimiento uniforme acelerado
Cuando la aceleración del móvil permanece constante durante su movimieto, entonces estamos en condiciones del movimiento uniforme acelerado, es decir

     \[ a=\frac{dv(t)}{dt}, \]

expresión que integrada da por resultado

     \[ adt=dv(t) \]

     \[ \int_0^t adt=\int_{v(0)}^{v(t)} dv \]

o sea

     \[ v(t) = v(0)+at \]

que integrada de nuevo resulta

     \[ x(t)-x(0)=\int_0^t v(t)dt=\int_0^t (v(0)+at)dt, \]

cuyo resultado final es:

     \[ x(t)=x(0)+v(0)t+\frac{1}{2}at^2 \]

donde  x(0) representa la posición inicial y  v(0) es la rapidez inicial. Si remplazamos en la anterior ecuación la aceleración del móvil dada líneas más arriba, obtenemos el siguiente resultado

     \[ x(t)-x(0)=\frac{v(t)^2-v(0)^2}{2a}, \]

ecuación que es independiente del tiempo. Ahora. Si el móvil esta frenando o lo que es mismo, desacelereando, entonces la aceleración es negativa, por lo que al final el móvil queda en reposo y por supuesto su rapidez final es igual a cero, o sea

     \[ x(t)-x(0)=\frac{-v(0)^2}{2a}. \]

Se habla de desaceleración cuando la aceleración tiene signo contrario a la “rapidez” (después veremos que es a la velocidad)
Algunos Problemas Resueltos
01.- La velocidad de un auto en función del tiempo está dada por v_{x}(t)=\alpha+\beta t^{2}, donde \alpha=3,00\frac{m}{s} y \beta=0,100\frac{m}{s^{3}}. a) Calcule la aceleración media entre  t=0[s] y t=5,00[s]. b) Calcule la aceleración instantánea en: i) t=0[s], ii) t=5,00[s]. c) Dibuje las gráficas:  v_{x}-t y a_{x}-t exactas para el movimiento del auto entre t=0[s] y t=5,00[s].
Respuesta.
Para el cálculo de la aceleración media en los intervalos mencionados, se procede a sustituir en la ecuación v_{x}(t)=\alpha+\beta t^{2} con los valores dados en el problema, es decir:

     \[ v_{x}(0)=3,00\frac{m}{s}+\beta0^{2}=3,00\frac{m}{s} \]

     \[ v_{x}(5)=3,00\frac{m}{s}+0,100\frac{m}{s^{3}}5^{2}=5,5\frac{m}{s} \]

entonces la aceleración media será:

     \[ a_{m}=\frac{5,5-3,00}{5-0}\frac{m}{s} \]

La aceleración instantánea para los instantes t=0[s] y t=5,00[s] se obtiene diferenciando la ecuación dada para la velocidad, es decir:
 a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d(\alpha+\beta t^{2})}{dt}=2\beta t,
entonces las aceleraciones instantáneas son:

     \[ a(0)=2\times0,100\frac{m}{s^{3}}\times0[s]=0\frac{m}{s^{2}} \]

     \[ a(5)=2\times0,100\frac{m}{s^{3}}\times5[s]=1\frac{m}{s^{2}} \]

02.- Los sismos producen varios tipos de ondas de choque. Las más conocidas son las ondas P (primarias o de presión) y las ondas S (secundarias o de corte). En la corteza terrestre, las ondas P viajan a cerca de 6,5\frac{km}{s} mientras que las ondas S lo hacen a unos 3,5\frac{km}{s}. Las rapideces reales varían dependiendo del tipo de material que atraviesan. La diferencia de tiempo entre la llegada de estos dos tipos de ondas en una estación de registro sísmico revela a los geólogos la distancia a la que se produjo el sismo. Si el retraso es de 33[s], ¿a qué distancia de la estación sísmica se produjo el sismo?
Respuesta
Como las ondas P viajan más de prisa que las S, la diferencia de tiempo entre dichas ondas debe ser igual a los 33[s], o sea t_{s}-t_{p}=33[s], a su vez dichas ondas viajan en principio con movimiento uniforme, en tal caso, \tfrac{D_{s}}{v_{s}}=t_{s} y \tfrac{D_{p}}{v_{p}}=t_{p}, efectuando el remplazo en la primera ecuación, nos da
 33[s]=\dfrac{D_{s}}{v_{s}}-\dfrac{D_{p}}{v_{p}},
como la distancia que viajan dichas ondas es la misma, entonces se tiene despejando
 D=\dfrac{33 \times v_{s} \times v_{p}}{v_{p}-v_{s}}
 D=\dfrac{33 \times 3,5 \times 6,5}{6,5-3,5}[km]
 \D=250,25[km]
03.- Sheila lanza su anillo de compromiso verticalmente hacia arriba desde la azotea del edificio donde vive, a 12,0[m] del suelo, con rapidez inicial de 5,00\frac{m}{s}. Se puede despreciar la resistencia del aire. Para el movimiento desde la mano hasta el suelo, ¿qué magnitud y dirección tienen a) la velocidad media del anillo? b) ¿su aceleración media? c) ¿Cuantos segundos después de ser lanzado toca el suelo el anillo? d) ¿Qué rapidez tiene el anillo justo antes de tocar el suelo?
Respuesta
a) El problema se resume a encontrar el tiempo transcurrido desde que sheila lanza su anillo de compromiso hacia abajo con la misma rapidez con la que lanza hacia arriba su anillo, en ese entendido, debemos resolver la siguiente ecuación cuadrática, es decir z=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^{2}, despejando pata el tiempo se tiene t^{2}+\frac{2\times 5}{9,8}t-\frac{2\times z}{9,8}=0, ecuación que tiene dos soluciones, nos quedamos con aquella que no sea negativa, es decir t=2,156[s], de manera que la velocidad media del anillo será v_{m}=\frac{12[m]}{2,156[s]}=5,57\frac{m}{s}.
b) La aceleración media del anillo es prácticamente la aceleración de gravedad, o sea 9,8\frac{m}{s^{2}}.
c) Como se compatibiliza el lanzamiento hacia abajo, entonces el tiempo empleado es el mismo que en el inciso a).
d) La rapidez la podemos determinar mediante la ecuación v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2\times g \times z, la cual introduciendo valores da v_{f}^{2}=5^{2}+2\times 9,8\times 12, o sea v_{f}=16,1\frac{m}{s}.

Cinemática Bidimensional

Introducción
Para describir movimientos que no son rectilíneos como el circular o el parabólico, debemos elegir un sistema de coordenadas apropiado para ello, si bien el sistema cartesiano es ampliamente utilizado, existen otros bajo los cuales es posible realizar el estudio del movimiento de los cuerpos en más de una dimensión, trátese por ejemplo del sistema de coordenadas polares, el movimiento en particular se realiza en un plano, lo que facilita su estudio.
El sistema de coordenadas polares
La Figura ilustra el sistema de coordenadas polares, en esta se puede observar la distancia del origen de coordenadas hacia el punto donde se ubique el móvil u objeto a estudio, dicha distancia es representada por r (líneas entrecortadas) y el ángulo polar \theta medida en sentido contrario a las manecillas del reloj. En el punto P, se puede visualizar dos vectores perpendiculares entre sí, denominados vector unitario transversal \hat{\theta} y el vector unitario radial \hat{r}. Por facilidad, se toma el eje polar coincidencialmente cuando el objeto esta en \theta=0, de manera que de ahi se inicie el movimiento, esto es r=r(t) y \theta=\theta(t).
Los vectores unitarios \hat{r} y \hat{\theta} pueden ser expresados en términos de los vectores unitarios cartesianos de la forma

     \begin{eqnarray*} \hat{r} & = & \cos(\theta)\hat{i}+\sin(\theta)\hat{j}\\ \hat{\theta} & = & -\sin(\theta)\hat{i}+\cos(\theta)\hat{j} \end{eqnarray*}

Si efectuamos la derivada con respecto del tiempo en las anteriores ecuaciones, obtenemos:

     \[ \dfrac{\dhat{r}}{dt}=\dot{\theta}(-\sin(\theta)\hat{i}+\cos(\theta)\hat{j})=\hat{\theta}\dot{\theta}, \]

     \[ \dfrac{\dhat{\theta}}{dt}=-\dot{\theta}(\cos(\theta)\hat{i}+\sin(\theta)\hat{j})=-\hat{r}\dot{\theta}. \]

A su vez, tanto la velocidad como la aceleración pueden ser descritas como:

     \begin{eqnarray*} \vec{v} & = & \hat{r}\dot{x}+r\dot{\theta}\hat{\theta}\\ \vec{a} & = & (\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{\theta} \end{eqnarray*}

Las componentes polares de la aceleración son:

     \[ a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2, \]

     \[ a_{\theta}=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \]

la primera de las ecuaciones se denomina la componente radial y la segunda transversal. Resulta interesante analizar casos particulares de las anteriores ecuaciones, vale decir, el Movimiento Circular.

Movimiento Circular

Dicho movimiento se caracteriza por describir una circunferencia de radio R constante con centro en el origen de coordenadas, vale decir que r=R y \dot{r}=0, entonces los vectores velocidad y aceleración se convierten en:

     \begin{eqnarray*} \vec{v} & = & R\dot{\theta}\hat{\theta}\\ \vec{a} & = & -R\dot{\theta}^2\hat{r}+R\ddot{\theta}\hat{\theta} \end{eqnarray*}

Como se trata de un movimiento circular, los vectores unitarios \hat{r} y \hat{\theta} son perpendicular a la circunferencia y tangencial a esta. En tal sentido, la velocidad es tangente a la circunferencia y la aceleración esta dirigida hacia el centro de la circunferencia, denominada aceleración centrípeta (observese el signo en la ecuación) y la otra componente la aceleración tangencial. La Figura ilustra tal situación.
Denominamos velocidad angular \omega a \dot{\theta} y aceleración angular \alpha a \ddot{\theta}, o sea

     \[ \omega=\dot{\theta} \]

     \[ \alpha=\ddot{\theta}, \]

De manera que la velocidad y aceleración quedan expresadas como:

     \begin{eqnarray*} \vec{v} & = & R\omega\hat{\theta}\\ \vec{a} & = &-R\omega^{2}\hat{r}+R\alpha\hat{\theta} \end{eqnarray*}

Movimiento Circular Uniforme
Cuando la velocidad angualar permanece constante, entonces la aceleración angular es nula, es decir \alpha=0, de manera que las anteriores ecuaciones quedan como

     \begin{eqnarray*} \vec{v} & = & R\dot{\theta}\hat{\theta}=v\hat{\theta}\\ \vec{a} & = &-R\theta^{2}\hat{r}=-\frac{v^{2}}{R}\hat{r} \end{eqnarray*}

como

     \[ \dot{\theta}=\omega, \]

entonces integrando se obtiene

     \begin{eqnarray*} \dfrac{d\theta}{dt} & = & \omega\\ \int_{\theta(0)}^{\theta(t)}d\theta & = & \int_{t(0)}^{t(t)}\omega dt\\ \theta(t) & = & \theta(0)+\omega t \end{eqnarray*}

puede notarse inmediatamente la linealidad en la anterior ecuación.
Otro caso de particular interés es el caso cuando el móvil u objeto de mueve bajo aceleración angular constante, es decir \alpha=constante. Entonces la siguiente ecuación permite obtener la ecuación del movimiento para tal condición, o sea

     \[ \alpha=\ddot{\theta}, \]

entonces por integración se tiene:

     \[ \omega(t)=\omega(0)+\alpha t \]

y a su vez

     \[ \theta(t)=\theta(0)+\omega(0) t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}, \]

ecuación que ilustra la nolinealidad del ángulo con el tiempo.
El siguiente video, ilustra las ideas contenidas en el movimiento circular uniforme.

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