Abr 012012
 

Ejemplo 02. Si la masa y el diámetro de una esfera de acero son:

m = \left(45,6\pm0,2\right)\left(g\right)

D = \left(22,2\pm0,1\right)\left(mm\right)

Calcule la densidad de la esfera y exprésela de la forma:

 \rho = <\rho>\pm E_{<\rho>}

Solución 02. La fórmula para el cálculo de la densidad de cualquier cuerpo, viene dada por:

 \rho = \frac{m}{V}

De acuerdo a lo visto en los métodos dados para la propagación de errores, se ve que el más conveniente es tomar logaritmos naturales a la anterior fórmula y teniendo cuidado en el volumen, que en el caso particular es una esfera, en ese entendido tenemos:

ln\rho = ln\frac{6\cdot m}{\pi\cdot D^{3}}

ln\rho = ln6+ln m-ln\pi-3ln D

dln\rho = dln6+dln m-dln\pi-3dln D

\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dm}{m}-3\cdot\frac{dD}{D}

\frac{E_{<\rho>}}{<\rho>} = \frac{E_{<m>}}{<m>}-3\cdot\frac{E_{<D>}}{<D>}

E_{<\rho>} = <\rho>\cdot\left(\frac{E_{<m>}}{<m>}-3\cdot\frac{E_{<D>}}{<D>}\right)

A la anterior fórmula se debe extraer valores absolutos, en vista de tener una acumulación de errores.

E_{<\rho>} = <\rho>\cdot\left(\frac{E_{<m>}}{<m>}+3\cdot\frac{E_{<D>}}{<D>}\right)

A su vez, el valor más probable para la densidad, esta dada por:

<\rho> = \frac{<m>}{<V>}

<\rho> = \frac{45,6\left(g\right)}{\frac{\pi}{6}\cdot\left(22,2\right)^{3}\left(mm\right)^{3}}

<\rho> = 7,96\left(\frac{g}{cm^{3}}\right)

Para el cálculo de la incertidumbre, tenemos:

E_{<\rho>} = 7,959894231\left(\frac{g}{cm^{3}}\right)\cdot\left(\frac{0,2\left(g\right)}{45,6\left(g\right)}+3\cdot\frac{0,1\left(mm\right)}{22,2\left(mm\right)}\right)

E_{<\rho>} = 0,14\left(\frac{g}{cm}^{3}\right)

El resultado final será:

\rho=\left(7,96\pm0,14\right)\left(\frac{g}{cm^{3}}\right)

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