Mar 302012
 

Continuando con los métodos existentes para la propagación de errores,ahora se propone el:

Método de la diferenciación total

A semejanza del método de aproximaciones y el logaritmos naturales, en el que la propagación de errores se hace evidente, ahora se pretende bordar la propagación de errores desde la óptica del cálculo diferencial, en ese entendido, la función matemática de más de una variable \fleft(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots) se vera afectado por las incertidumbres contenidas en cada variable. En lenguaje matemático, esto equivale a decir:

f=\fleft(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)

     \[ df=\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{1}}dx_{1}+\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{2}}dx_{2}+\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{3}}dx_{3}+\ldots\ldots \]

Como las incertidumbres afectan al sumando en total, es necesario tomar los valores absolutos en cada término y así obtener

     \[ df=\left|\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{1}}\right|dx_{1}+\left|\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{2}}\right|dx_{2}+\left|\dfrac{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{3}}\right|dx_{3}+\ldots\ldots \]

Ejemplo 01. A título de ejemplo, continuemos con el cilindro precedente de los anteriores métodos.

Solución. Apliquemos la diferencial exacta a la formula dada para el volumen del cilindro, es decir

     \begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{\pi}{4}\cdot D^{2}\cdot z\\ V & = & V\left(D,z\right)\\ dV & = & \left|\dfrac{\partial V\left(D,z\right)}{\partial D}\right|dD+\left|\dfrac{\partial V\left(D,z\right)}{\partial z}\right|dz\\ \dfrac{dV}{<V>} & = & \dfrac{\dfrac{\pi}{4}\cdot2\cdot D\cdot z\cdot dD}{<V>}+\dfrac{\dfrac{\pi}{4}\cdot D^{2}\cdot dz}{<V>}\\ \dfrac{E_{<V>}}{<V>} & = & \dfrac{\dfrac{\pi}{4}\cdot2\cdot<D>\cdot<z>\cdot E_{<D>}}{\dfrac{\pi}{4}<D>^{2}\cdot<z>}+\dfrac{\dfrac{\pi}{4}\cdot<D>^{2}\cdot E_{<z>}}{\dfrac{\pi}{4}<D>^{2}\cdot<z>}\\ \dfrac{E_{<V>}}{<V>} & = & 2\cdot\dfrac{E_{<D>}}{<D>}+\dfrac{E_{<z>}}{<z>}\\ E_{<V>} & = & <V>\cdot\left(2\cdot\dfrac{E_{<D>}}{<D>}+\dfrac{E_{<z>}}{<z>}\right) \end{eqnarray*}

El resultado obtenido es el mismo que se obtuvo por los métodos descritos en las anteriores entradas.

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