Mar 292012
 

En determinados experimentos, el resultado de más de una medición,puede expresarse como su valor más probable, acompañado de su incertidumbre o error absoluto a un cierto nivel de confianza. Tal medición resulta ser directa. Sin embargo, existen ciertas mediciones que no dan de manera directa la medición deseada, tales como el área o superficie de un cuerpo, el volumen de dicho cuerpo o la densidad de este. En tales casos, las incertidumbres asociadas a cada medición se propagan hacia el resultado deseado. En tal sentido, existen métodos para el cálculo de la propagación de errores.

Métodos de Aproximación

Normalmente, cuando se desea calcular vía indirecta aquellos resultados que no pueden ser obtenidos de manera directa, se dice que el resultado deseado es una función de otras variables involucradas, es decir
 y=\fleft(x_{1},x_{2},x_{3}\rright)
donde x_{1},x_{2},x_{3} son variables a ser medidas, en ese sentido, cada una arrastra consigo una cierta incertidumbre, vale decir, <x_{1}>\pm E_{<x_{1}>}, <x_{2}>\pm E_{<x_{2}>}, <x_{3}>\pm E_{<x_{3}>}. De manera que la anterior función también quedara afectada por incertidumbres, o sea,
 y\pm E_{<y>}=\fleft(<x_{1}>\pm E_{<x_{1}>},<x_{2}>\pm E_{<x_{2}>},<x_{3}> \pm E_{<x_{3}>}\rright)
Ejemplo 01. Se desea evaluar la incertidumbre asociada al volumen de un cilindro.
Solución. El volumen del cilindro viene dado por:
 V=\pi R^{2}z
o en términos del diámetro de este
 V=\frac{\pi}{4}D^{2}z
Se dice entonces que el volumen del cilindro es función tanto del diámetro como de la altura, o sea
 V=V\left(D,z\right)
De acuerdo a lo expresado líneas arriba, la ecuación precedente puede ser escrita como

     \begin{eqnarray*} V\pm E_{<V>} & = & V\left(D\pm E_{D},<z>\pm E_{<z>}\right)\\ V\pm E_{<V>} & = & \dfrac{\pi}{4}\cdot\left(D\pm E_{<D>}\right)^{2}\cdot\left(z\pm E_{<z>}\right)\\ V\pm E_{<V>} & = & \dfrac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\pm E_{<D>}^{2}\right)\cdot\left(<z>\pm E_{<z>}\right)\\ V\pm E_{<V>} & = & \dfrac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}\cdot<z>\pm<D>^{2}E_{<z>}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot<z>\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot E_{<z>}\pm E_{<D>}^{2}\cdot<z>\pm E_{<D>}^{2}\cdot E_{<z>}\right) \end{eqnarray*}

Tanto el producto de incertidumbres como el cuadrado de estas se aproximan a cero, se tiene de la anterior expresión

     \begin{eqnarray*} V\pm E_{<V>} & \text{=} & \frac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}\cdot<z>\pm<D>^{2}E_{<z>}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot<z>\right)\\ E_{<V>} & = & \frac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}\cdot<z>\pm<D>^{2}E_{<z>}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot<z>\right)-V\pm E_{<V>}\\ E_{<V>} & = & \frac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}\cdot<z>\pm<D>^{2}E_{<z>}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot<z>\right)-<D>^{2}\cdot<z>\pm E_{<V>}\\ E_{<V>} & = & \frac{\pi}{4}\cdot\left(<D>^{2}E_{<z>}\pm2<D>\cdot E_{<D>}\cdot<z>\right) \end{eqnarray*}

el error relativo será entonces
 \dfrac{E_{V}}{V}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}<D>^{2}E_{<z>}}{\dfrac{\pi}{4}\cdot<D>^{2}\cdot<z>}+\dfrac{\dfrac{\pi}{4}\cdot2\cdot<D> E_{<D>}\cdot<z>}{\dfrac{\pi}{4}\cdot<D>^{2}\cdot<z>}

 \dfrac{E_{V}}{V}=\dfrac{E_{<z>}}{<z>}+2\cdot\dfrac{E_{<D>}}{<D>}
De manera que el error relativo en el volumen será, la suma de los errores relativos en la altura y el doble del diámetro del cilindro, es decir
 \epsilon_{V}=\epsilon_{z}+2\cdot\epsilon_{D}
Finalmente, la incertidumbre asociada al volumen del cilindro es:
 E_{V}=<V>\cdot\left(\dfrac{E_{<z>}}{<z>}+2\cdot\dfrac{E_{<D>}}{<D>}\right)
y el valor más probable en el volumen del cilindro es:
 <V>=\dfrac{\pi}{4}\cdot<D>^{2}\cdot<z>

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