Mar 262012
 

Cuando se resuelve un ejercicio por métodos numéricos y aunque las operaciones se lleven a cabalidad, se obtienen aproximaciones numéricas del resultado deseado. En tal sentido, es importante conocer el efecto que se tiene sobre el resultado final del problema, al realizar las operaciones realizadas.

Para ver como se propagan los errores, veamos cual es el efecto que se tiene sobre cada una de las operaciones básicas hacia el error final, cuando se aplican sobre dos numeros x_{1}\pm\varepsilon_{a}(x_{1}) y x_{2}\pm\varepsilon_{a}(x_{2})

     \[ \epsilon_{a}\left(x_{1}+x_{2}\right)=\epsilon_{a}\left(x_{1}\right)+\epsilon_{a}\left(x_{2}\right) \]

Cuando el problema reside en calcular el resultado de una funcin tal como y=f(x), se tiene la siguiente frmula aproximada para la propagación del error:

     \[ \varepsilon_{a}(y)=\vert f'(x)\vert\varepsilon_{a}(x) \]

Para el caso más general, en el que la función dependa de más de una variable tal como y=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}), entonces la formula aproximada de propagación del errores:

     \[ \varepsilon_{a}(y)={\displaystyle \sum_{i=n}^{n}}\biggl|\frac{\partial}{\partial x_{i}}(x_{1},x_{2},\ldots\ldots,x_{n})\biggr|\varepsilon_{a}(x_{i}) \]

Ejemplo 01: Determinar el error máximo que se comete en el cálculo de y=x_{1}x_{2}^{3} para x_{1}=3.0\pm0.5 y x_{2}=4.0\pm0.6.

Solución: El error que se comete al hacer uso de la ecuación general es:

     \begin{eqnarray*} \epsilon_{a}\left(y\right) & = & \biggl|\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(x_{1}x_{2}^{3}\right)\biggr|\epsilon_{a}\left(x_{1}\right)+\biggl|\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(x_{1}x_{2}^{3}\right)\biggr|\epsilon_{a}\left(x_{2}\right)\\ \epsilon_{a}\left(y\right) & = & \Bigl|x_{2}^{3}\Bigr|\epsilon_{a}\left(x_{1}\right)+\Bigl|3x_{1}x_{2}^{2}\Bigr|\epsilon_{a}\left(x_{2}\right) \end{eqnarray*}

Remplazando valores en la ecuación original y la última obtenida, se tiene:

    \begin{eqnarray*} y & = & x_{1}x_{2}^{3}\\ y & = & 3,0\cdot\left(4,0\right)^{3}=192,0\\ \epsilon_{a}\left(y\right) & = & \Bigl|\left(4,0\right)^{3}\Bigr|\cdot0,5+\Bigl|3\cdot\left(3,0\right)\cdot\left(4,0\right)^{2}\Bigr|\cdot0,6=53,6 \end{eqnarray*}

De manera que el resultado es:

    \[ y=192,0\pm53,6 \]

Ejemplo 02. La rapidez de un móvil con movimiento uniforme se puede cuantificar cronometrando el tiempo empleado en recorrer una cierta distancia. En tal sentido, con la información para x=(3,0\pm0,6)[m] y t=(1,0\pm0,5)[s]. Determinese el error cometido en la rapidez del móvil.

Solución. Empleando la ecuación general dada anteriormente, se obtiene:

    \[ \epsilon_{a}\left(v\right)=\biggl|\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{x_{1}}{t}\right)\biggr|\epsilon_{a}\left(x_{1}\right)+\biggl|\frac{\partial}{\partial t_{2}}\left(\frac{x_{1}}{t_{2}}\right)\biggr|\epsilon_{a}\left(t_{2}\right)\epsilon_{a} \]

La anterior expresión sin valores absolutos es:

    \[ \epsilon_{a}\left(v\right)=\frac{1}{t_{1}}\cdot\epsilon_{a}\left(x_{1}\right)+\frac{x}{t_{2}}\cdot\epsilon_{a}\left(t_{2}\right) \]

Sustituyendo datos se tiene:

    \begin{eqnarray*} \epsilon_{a}\left(v\right) & = & \frac{1}{1,0\left(s\right)}\cdot0,6\left(m\right)+\frac{3,0\left(m\right)}{\left(1,0\right)\left(s\right)}\cdot0,5\left(s\right)\\ \epsilon_{a}\left(v\right) & = & (2,1)\frac{m}{s} \end{eqnarray*}

A su vez, la rapidez del móvil es:

     \[ y=\frac{3,0(m)}{1,0(s)}=(3,0)\frac{m}{s} \]

Finalmente el resultado deseado es:

    \[ y=(3,0\pm2,1)\frac{m}{s} \]

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