Ago 212013
 

En el experimento de la Balanza de Jolly, la densidad de un cuerpo sólido se calcula mediante la ecuación:

(1)   \begin{equation*} \rho_{c}=\left(\frac{z_{1}}{z_{1}-z_{2}}\right)\rho_{L} \end{equation*}

donde las variables medidas son: las elongaciones del resorte en aire y agua z_{1} y z_{2} respectivamente. Considerando constante la densidad del líquido (agua) \rho_{L}. Propague la ecuación para \rho_{c}.
Respuesta.
Observando la ecuación (1), es viable aplicar el método de los logaritmos naturales, vale decir:

    \begin{eqnarray*} \rho_{c} & = & \left(\frac{z_{1}}{z_{1}-z_{2}}\right)\rho_{L}\\ \ln\rho_{c} & = & \ln\left[\left(\frac{z_{1}}{z_{1}-z_{2}}\right)\rho_{L}\right]\\ \ln\rho_{c} & = & \ln\left(\frac{z_{1}}{z_{1}-z_{2}}\right)+\ln\rho_{L}\\ \ln\rho_{c} & = & \ln\left(z_{1}\right)-\ln\left(z_{1}-z_{_{2}}\right)+\ln\rho_{L}\\ d\ln\rho_{c} & = & d\ln\left(z_{1}\right)-d\ln\left(z_{1}-z_{_{2}}\right)+d\ln\rho_{L}\\ \frac{d\rho_{c}}{\rho_{c}} & = & \frac{dz_{1}}{z_{1}}-\frac{d\left(z_{1}-z_{2}\right)}{z_{1}-z_{2}}+0\\ \frac{d\rho_{c}}{\rho_{c}} & = & \frac{dz_{1}}{z_{1}}-\frac{dz_{1}}{z_{1}-z_{2}}+\frac{dz_{2}}{z_{1}-z_{2}}\\ \left|\frac{E_{<\rho>}}{<\rho>}\right| & = & \left|\frac{E_{<z_{1}>}}{<z_{1}>}\right|+\left|-\frac{E_{<z_{1}>}}{<z_{1}>-<z_{2}>}\right|+\left|\frac{E_{<z_{2>}}}{<z_{1}>-<z_{2}>}\right|\\ \frac{E_{<\rho>}}{<\rho>} & = & \frac{E_{<z_{1}>}}{<z_{1}>}+\frac{E_{<z_{1}>}}{<z_{1}>-<z_{2}>}+\frac{E_{<z_{2>}}}{<z_{1}>-<z_{2}>}\\ \frac{E_{<\rho>}}{<\rho>} & = & \frac{E_{<z_{1}>}}{<z_{1}>}+\frac{E_{<z_{1}>}+E_{<z_{2>}}}{<z_{1}>-<z_{2}>}\\ <\rho_{c}> & = & \left(\frac{<z_{1}>}{<z_{1}>-<z_{2}>}\right)<\rho_{L}> \end{eqnarray*}

Lo que dá respuesta al problema planteado.

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