Mar 042013
 

Ejercicio 3. Cuando el ángulo de oscilación de un péndulo simple es pequeño, la aceleración de gravedad (ver figura) se calcula con la ecuación:

(1)   \begin{eqnarray*} g & = & \frac{4\cdot\pi\cdot L}{T^{2}} \end{eqnarray*}

Propague la ecuación para g en función delas variables medidas: longitud L y periodo de oscilación T.
Respuesta 3.
La ecuación (1) puede ser resuelta por diferentes métodos, de especial interes es por ejemplo el método de las diferenciales exactas, vale decir:

(2)   \begin{eqnarray*} g & = & g\left(L,T\right) \end{eqnarray*}

La dependencia matemática en la expresión (2) es función de dos variables, L y T, en tal sentido, la diferencial exacta será:

(3)   \begin{eqnarray*} dg & = & \frac{\partial g}{\partial L}\cdot dL+\frac{\partial g}{\partial T}\cdot dT \end{eqnarray*}

Evaluando las derivadas parciales por separado, se tiene:

(4)   \begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial L} & = & \frac{\partial}{\partial L}\left(\frac{4\cdot\pi\cdot L}{T^{2}}\right)=\frac{4\cdot\pi}{T^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial L}\left(L\right)=\frac{4\cdot\pi}{T^{2}}\nonumber \\ \frac{\partial g}{\partial T} & = & \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{4\cdot\pi\cdot L}{T^{2}}\right)=L\cdot\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{4\cdot\pi}{T^{2}}\right)=-\frac{8\cdot\pi\cdot L}{T^{3}} \end{eqnarray*}

Introduciendo las ecuaciones (4) en la ecuación (3)

(5)   \begin{eqnarray*} dg & = & \frac{4\cdot\pi}{T^{2}}\cdot dL-\frac{8\cdot\pi\cdot L}{T^{3}}\cdot dT \end{eqnarray*}

Dividiendo la ecuación (5) con la ecuación (1), se tiene:

(6)   \begin{eqnarray*} \frac{dg}{g} & = & \frac{\frac{4\cdot\pi}{T^{2}}}{\frac{4\cdot\pi\cdot L}{T^{2}}}\cdot dL-\frac{\frac{8\cdot\pi\cdot L}{T^{3}}}{\frac{4\cdot\pi\cdot L}{T^{2}}}\cdot dT \end{eqnarray*}

Efectuando operaciones en la ecuación (6), obtenemos:

(7)   \begin{eqnarray*} \frac{dg}{g} & = & \frac{dL}{L}\cdot dL-2\cdot\frac{dT}{T} \end{eqnarray*}

Las diferenciales en la ecuación (7) se aproximan a los errores absolutos o incertidumbres y tanto la aceleración de gravedad, longitud y periodo se convierten en valores más probables, es decir

(8)   \begin{eqnarray*} \frac{E_{<g>}}{<g>} & = & \frac{E_{<L>}}{<L>}-2\cdot\frac{E_{<T>}}{<T>} \end{eqnarray*}

La ecuación (8) contiene en si mismos los errores relativos en la aceleración de gravedad, longitud y periodo. A su vez, como los errores relativos son acumulativos, se debe extraer en la ecuación (8) los valores absolutos a cada término de la ecuación (8), en ese sentido, se tiene

(9)   \begin{eqnarray*} \left|\frac{E_{<g>}}{<g>}\right| & = & \left|\frac{E_{<L>}}{<L>}\right|+\left|-2\cdot\frac{E_{<T>}}{<T>}\right| \end{eqnarray*}

De manera que el resultado final deseado es:

    \begin{eqnarray*} \frac{E_{<g>}}{<g>} & = & \frac{E_{<L>}}{<L>}+2\cdot\frac{E_{<T>}}{<T>} \end{eqnarray*}

Deja un comentario

Follow

Get every new post delivered to your Inbox

Join other followers:

A %d blogueros les gusta esto: