Mar 012013
 

Ejercicio. La medición de la altura Z y el diámetro D de un cono arrojó los siguientes resultados:

(1)   \begin{eqnarray*} Z & = & \left(106,7\pm0.3\right)\left[mm\right]\nonumber \\ D & = & \left(45,5\pm0,2\right)\left[mm\right] \end{eqnarray*}

Calcúlese el volumen y su respectivo error.
Respuesta.
La siguiente figura muestra el cono en cuestión y su respectivo volumen:

 

 

De la figura puede observarse la relación existente entre el diámetro de circulo y su correspondiente radio, es decir;

(2)   \begin{eqnarray*} V & = & \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{D^{2}}{4}\cdot Z\nonumber \\ V & = & \frac{\pi}{12}\cdot D^{2}\cdot Z \end{eqnarray*}

Observando la fórmula para el cono en función del diámetro y la altura Z, se empleara el método de logaritmos naturales para su propagación respectica, vale decir:

(3)   \begin{eqnarray*} \ln V & = & \ln\left(\frac{\pi}{12}\cdot D^{2}\cdot Z\right)\nonumber \\ \ln V & = & \ln\left(\pi\right)-\ln\left(12\right)+2\ln\left(D\right)+\ln Z\nonumber \\ d\ln V & = & d\ln\left(\pi\right)-d\ln\left(12\right)+d2\ln\left(D\right)+d\ln Z\nonumber \\ \frac{dV}{V} & = & 0-0+\frac{2\cdot dD}{D}+\frac{dZ}{Z}\nonumber \\ \frac{E_{<V>}}{<V>} & = & 2\cdot\frac{E_{<D>}}{<D>}+\frac{E_{<Z>}}{<Z>}\nonumber \\ E_{<V>} & = & <V>\cdot\left\{ 2\cdot\frac{E_{<D>}}{<D>}+\frac{E_{<Z>}}{<Z>}\right\} \end{eqnarray*}

El valor más probable para el volumen del cono, se obtiene a partir de la ecuación (2):

(4)   \begin{eqnarray*} <V> & = & \frac{\pi}{12}\cdot<D>^{2}\cdot<Z> \end{eqnarray*}

De manera que introduciendo los datos numericos del conjunto de ecuaciones (1) a las ecuaciones (4) y (3) se tiene:

(5)   \begin{eqnarray*} <V> & = & \frac{\pi}{12}\cdot\left(45,5\right)^{2}\left[mm^{2}\right]\cdot\left(106,7\left[mm\right]\right)\\ <V> & = & 57,8\times10^{3}\left[mm^{3}\right]\\ E_{<V>} & = & 57,8\times10^{3}\left[mm^{3}\right]\cdot\left\{ 2\cdot\frac{0,2\left[mm\right]}{45,5\left[mm\right]}+\frac{0,3\left[mm\right]}{106,7\left[mm\right]}\right\} \\ E_{<V>} & = & 0,7\times10^{3}\left[mm^{3}\right] \end{eqnarray*}

En consecuencia, el resultado deseado es:

    \begin{eqnarray*} V & = & (57,8\pm0,7)\times10^{3}\left[mm^{3}\right] \end{eqnarray*}

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