Sep 242012
 

Las medidas experimentales de los lados x, y, z y la masa m para la cuña de aluminio de la figura son:

(1)   \begin{eqnarray*} x & = & \left(12,3\pm0,2\right)\left[cm\right]\nonumber \\ y & = & \left(10,5\pm0,2\right)\left[cm\right]\nonumber \\ z & = & \left(8,7\pm0,1\right)\left[cm\right]\nonumber \\ m & = & \left(1510,4\pm0,1\right)\left[g\right] \end{eqnarray*}

(a) Exprese el volumen del cuerpo en la forma V=<V>\pm E_{<V>}
(b) Exprese la densidad del cuerpo en la forma \rho=<\rho>\pm E_{<\rho>}
Respuesta
(a) El volumen de la cuña esta dada por V\text{=}\frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot z, en vista de la sencillez de la fórmula, se puede realizar la propagación
de errores vía logaritmos naturales, es decir,

(2)   \begin{eqnarray*} \ln V & = & \ln\left(\frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot z\right)\nonumber \\ \ln V & = & \ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln x+\ln y+\ln z\nonumber \\ \ln V & \text{=} & \ln1-\ln2+\ln x+\ln y+\ln z\nonumber \\ d\ln V & \text{=} & d\ln1-d\ln2+d\ln x+d\ln y+d\ln z\nonumber \\ \frac{dV}{V} & = & 0-0+\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}+\frac{dz}{z}\nonumber \\ \frac{E_{<V>}}{<V>} & = & \frac{E_{<x>}}{<x>}+\frac{E_{<y>}}{<y>}+\frac{E_{<z>}}{<z>}\nonumber \\ E_{<V>} & = & <V>\cdot\left[\frac{E_{<x>}}{<x>}+\frac{E_{<y>}}{<y>}+\frac{E_{<z>}}{<z>}\right] \end{eqnarray*}

El valor más probable para el volumen de la cuña de aluminio se la obtiene a partir de la fórmula dada, o sea,

(3)   \begin{eqnarray*} V & = & \frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot z\nonumber \\ V & = & \frac{1}{2}\cdot<x>\cdot<y>\cdot<z> \end{eqnarray*}

Introduciendo valores numéricos en la ecuación (3), se tiene

(4)   \begin{eqnarray*} <V> & = & \frac{1}{2}\cdot\left(12,3\left[cm\right]\right)\cdot\left(10,5\left[cm\right]\right)\cdot\left(8,7\left[cm\right]\right)\nonumber \\ <V> & = & 5,6\times10^{2}\left[cm^{3}\right] \end{eqnarray*}

Insertando la ecuación (4) en la ecuación (2) y los valores de las incertidumbres dados, obtenemos

(5)   \begin{eqnarray*} E_{<V>} & = & 5,6\times10^{2}\left[cm^{3}\right]\cdot\left[\frac{0,2\left[cm\right]}{12,3\left[cm\right]}+\frac{0,2\left[cm\right]}{10,5\left[cm\right]}+\frac{0,1\left[cm\right]}{8,7\left[cm\right]}\right]\nonumber \\ E_{<V>} & = & 0,3\times10^{2}\left[cm^{3}\right] \end{eqnarray*}

De manera que el volumen de la cuña de aluminio viene dado por las ecuaciones (4) y (5), es decir:

(6)   \begin{eqnarray*} V & = & \left(5,6\pm0,3\right)\times10^{2}\left[cm^{3}\right] \end{eqnarray*}

(b) La desidad de la cuña de aluminio viene dada por:

(7)   \begin{eqnarray*} \rho & = & \frac{m}{V} \end{eqnarray*}

Aplicando logaritmos naturales a la ecuación (7) para obtener su incertidumbre, se tiene

(8)   \begin{eqnarray*} \ln\rho & = & \ln\left(\frac{m}{V}\right)\nonumber \\ \ln\rho & = & \ln m-\ln V\nonumber \\ d\ln\rho & = & d\ln m-d\ln V\nonumber \\ \frac{d\rho}{\rho} & = & \frac{dm}{m}-\frac{dV}{V}\nonumber \\ \frac{E_{<\rho>}}{<\rho>} & = & \frac{E_{<m>}}{<m>}-\frac{E_{<V>}}{<V>}\nonumber \\ \left|\frac{E_{<\rho>}}{<\rho>}\right| & = & \left|\frac{E_{<m>}}{<m>}\right|+\left|-\frac{E_{<V>}}{<V>}\right|\nonumber \\ \frac{E_{<\rho>}}{<\rho>} & = & \frac{E_{<m>}}{<m>}+\frac{E_{<V>}}{<V>}\nonumber \\ E_{<\rho>} & = & <\rho>\cdot\left[\frac{E_{<m>}}{<m>}+\frac{E_{<V>}}{<V>}\right] \end{eqnarray*}

La densidad más probable se obtiene de la ecuación (7):

(9)   \begin{eqnarray*} \rho & = & \frac{m}{V}\nonumber \\ <\rho> & = & \frac{<m>}{<V>} \end{eqnarray*}

Insertando la ecuación (4) en la ecuación (9) con el valor asignado para la masa más probable, se tiene:

(10)   \begin{eqnarray*} <\rho> & = & \frac{1510,4\left[g\right]}{5,6\times10^{2}\left[cm^{3}\right]}\nonumber \\ <\rho> & = & 2,7\left[\frac{g}{cm^{3}}\right] \end{eqnarray*}

Poniendo las ecuaciones (10), (6) y (5) con el valor asignado a la masa en la ecuación (8), tenemos:

(11)   \begin{eqnarray*} E_{<\rho>} & = & 2,7\left[\frac{g}{cm^{3}}\right]\cdot\left[\frac{0,1\left[g\right]}{1510,4\left[g\right]}+\frac{0,3\times10^{2}\left[cm^{3}\right]}{5,6\times10^{2}\left[cm^{3}\right]}\right]\nonumber \\ E_{<\rho>} & = & 0,1\left[\frac{g}{cm^{3}}\right] \end{eqnarray*}

Entonces, la densidad de la cuña de aluminio viene dada por las ecuaciones (10) y (11), vale decir:

    \begin{eqnarray*} \rho & = & \left(2,7\pm0,1\right)\left[\frac{g}{cm^{3}}\right] \end{eqnarray*}

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