Sep 222012
 

La máquina de Atwood consiste en dos masas M y m (con M>m) unidadas por una cuerda de masa despresciable que pasa por una polea sin friccióm. Cuando se libera las masas el sistema acelera con una aceleración a=g\cdot\frac{M-m}{M+m}. Si M=\left(100\pm1\right)\left[g\right] y m=\left(50\pm1\right)\left[g\right]. Encuentre la incertidumbre de la aceleración (g es la aceleración gravitatoria la cual se supondrá sin error).

Respuesta

Debido a la sencilles de la fórmula para la aceleración en la Máquina de Atwood, convendra determinar la incertidumbre de esta, por el método de los logaritmos naturales, es decir

(1)   \begin{eqnarray*} a & = & g\cdot\frac{M-m}{M+m}\nonumber \\ \ln a & = & \ln\left[g\cdot\frac{M-m}{M+m}\right]\nonumber \\ \ln a & = & \ln g+\ln\left[M-m\right]-\ln\left[M+m\right]\nonumber \\ d\cdot\ln a & = & d\cdot\ln g+d\ln\left[M-m\right]-d\ln\left[M+m\right]\nonumber \\ \frac{da}{a} & = & 0+\frac{d\left(M-m\right)}{M-m}-\frac{d\left(M+m\right)}{M+m}\nonumber \\ \frac{da}{a} & = & \frac{dM-dm}{M-m}-\frac{dM+dm}{M+m}\nonumber \\ \frac{da}{a} & = & \frac{dM}{M-m}-\frac{dm}{M-m}-\frac{dM}{M+m}-\frac{dm}{M+m}\nonumber \\ \frac{E_{<a>}}{<a>} & = & \frac{E_{<M>}}{<M>-<m>}-\frac{E_{<m>}}{<M>-<m>}-\frac{E_{<M>}}{<M>+<m>}-\frac{E_{<m>}}{<M>+<m>}\nonumber \\ \frac{E_{<a>}}{<a>} & = & \Biggl|\frac{E_{<M>}}{<M>-<m>}\Biggr|+\Biggl|-\frac{E_{<m>}}{<M>-<m>}\Biggr|+\Biggl|-\frac{E_{<M>}}{<M>+<m>}\Biggr|+\Biggl|-\frac{E_{<m>}}{<M>+<m>}\Biggr|\nonumber \\ \frac{E_{<a>}}{<a>} & = & \frac{E_{<M>}}{<M>-<m>}+\frac{E_{<m>}}{<M>-<m>}+\frac{E_{<M>}}{<M>+<m>}+\frac{E_{<m>}}{<M>+<m>}\nonumber \\ E_{<a>} & = & <a>\cdot\left[\frac{E_{<M>}}{<M>-<m>}+\frac{E_{<m>}}{<M>-<m>}+\frac{E_{<M>}}{<M>+<m>}+\frac{E_{<m>}}{<M>+<m>}\right] \end{eqnarray*}

En la anterior fórmula, se requiere conocer el valor más probable de la aceleración, para tal efecto, la obtenemos a partir de la fórmula dada para la aceleración, es decir

(2)   \begin{eqnarray*} a & = & g\cdot\frac{M-m}{M+m}\nonumber \\ <a> & = & <g>\cdot\frac{<M>-<m>}{<M>+<m>} \end{eqnarray*}

Introduciendo valores numéricos a las ecuaciones (2) y (1), tenemos

(3)   \begin{eqnarray*} <a> & = & 9,80\frac{m}{s^{2}}\cdot\frac{100\left[g\right]-50\left[g\right]}{100\left[g\right]+50\left[g\right]}\nonumber \\ <a> & = & 3,27\left[\frac{m}{s^{2}}\right] \end{eqnarray*}

Introduciendo la ecuación (3) en la ecuación (1) con los valores dados para las masas, se tiene

(4)   \begin{eqnarray*} E_{<a>} & = & 3,27\left[\frac{m}{s^{2}}\right]\cdot\left[\frac{1\left[g\right]}{100\left[g\right]-50\left[g\right]}+\frac{1\left[g\right]}{100\left[g\right]-50\left[g\right]}+\frac{1\left[g\right]}{100\left[g\right]+50\left[g\right]}+\frac{1\left[g\right]}{100\left[g\right]+50\left[g\right]}\right]\nonumber \\ E_{<a>} & = & 1,71\left[\frac{m}{s^{2}}\right] \end{eqnarray*}

De manera que la aceleración en la máquina de Atwood viene dada por las ecuaciones (3) y (4), vale decir

    \begin{eqnarray*} a & = & \left(3,27\pm1,71\right)\left[\frac{m}{s^{2}}\right]. \end{eqnarray*}

Deja un comentario

Follow

Get every new post delivered to your Inbox

Join other followers:

A %d blogueros les gusta esto: