Jul 242012
 

La velocidad con que la esfera abandona una rampa con salida horizontal en función del alcance horizontal X y la altura de caída Z esta dada por la ecuación:

(1)   \begin{equation*} v=X\cdot\sqrt{\frac{g}{2\cdot Z}} \end{equation*}

Considerando constante la aceleración de gravedad g, escriba la ecuación propagada para v:

Solución:

Inicialmente elevemos al cuadrado a ambos lados de la ecuación (1), es decir:

(2)   \begin{equation*} v^{2}=\left(X\cdot\sqrt{\frac{g}{2\cdot Z}}\right)^{2} \end{equation*}

de manera que la ecuación (2) toma la forma,

(3)   \begin{equation*} v^{2}=X^{2}\cdot\frac{g}{2\cdot Z} \end{equation*}

A ambos lados de la expresión (3) tomamos logaritmos naturales y aprovechamos las propiedades de este último para obtener la siguiente expresión, vale decir,

(4)   \begin{eqnarray*} \ln v^{2} & = & \ln\left(X^{2}\cdot\frac{g}{2\cdot Z}\right)\\ 2\ln v & = & 2\ln X+\ln g-\ln2-\ln Z \end{eqnarray*}

Ahora procedemos a aplicar la diferencial a ambos lados de la ecuación (4), con sus correspondientes propiedades,o sea,

(5)   \begin{eqnarray*} 2\cdot d\cdot\ln v & = & 2\cdot d\cdot\ln X+d\cdot\ln g-d\cdot\ln2-d\cdot\ln Z \end{eqnarray*}

Como la diferencial de una constante es nula, entonces se tiene en la ecuación (5):

(6)   \begin{eqnarray*} 2\cdot d\cdot\ln v & = & 2\cdot d\cdot\ln X-d\cdot\ln Z\\ 2\cdot\frac{dv}{v} & = & 2\cdot\frac{dX}{X}-\frac{dZ}{Z} \end{eqnarray*}

La expresión (6) se escribe a su vez en términos de las incertidumbres como:

(7)   \begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{E_{v}}{v} & = & 2\cdot\frac{E_{X}}{X}-\frac{E_{Z}}{Z} \end{eqnarray*}

Como las incertidumbres son acumulativas, entonces en la ecuación (7) se extrae los valores absolutos, es decir,

(8)   \begin{eqnarray*} 2\cdot\left|\frac{E_{v}}{v}\right| & = & 2\cdot\left|\frac{E_{X}}{X}\right|+\left|-\frac{E_{Z}}{Z}\right| \end{eqnarray*}

Como los valores negativos de un valor absoluto se vuelven positivos, se tiene entonces de la ecuación (8):

(9)   \begin{eqnarray*} \frac{E_{v}}{v} & = & \frac{E_{X}}{X}+\frac{1}{2}\cdot\frac{E_{Z}}{Z} \end{eqnarray*}

De manera que la ecuacion propagada para la ecuación (1), vía la ecuación (9) se transforma en:

(10)   \begin{eqnarray*} E_{v} & = & v\cdot\left\{ \frac{E_{X}}{X}+\frac{1}{2}\cdot\frac{E_{Z}}{Z}\right\} \end{eqnarray*}

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